En resumen
- Con un bono a 1 año sin cupón a 96,154, otro a 2 años con cupón del 8 % a 100 y otro a 3 años con cupón del 6 % a 85,589, los tipos spot son 4 %, 8,17 % y 12,38 %.
- El factor de descuento a 3 años es 0,7046: 1 que cobras dentro de 3 años equivale hoy a unos 70 de cada 100.
- El tipo forward a 1 año entre el año 2 y el 3 sale en 21,30 %, frente al 12,50 % entre el año 1 y el 2.
- El bootstrap resuelve un plazo tras otro: el spot de 1 año sirve para sacar el de 2 años, y así hasta el último.
¿Qué es una curva cero cupón y cómo se saca con bootstrap?
La curva cero cupón da, para cada plazo, el tipo de interés anual de un pago único al final de ese plazo. El bootstrap la construye a partir de bonos con cupón: se empieza por el plazo más corto y se va despejando un plazo tras otro. Con un bono a 1 año sin cupón a 96,154, el tipo spot a 1 año es de 4 %.
Un bono con cupón no tiene un solo tipo, porque cobra pagos en años distintos y cada pago merece su propio tipo. El bootstrap separa esos pagos. El método es el que explica el curso 15.433 de inversiones del MIT.
Cómo usar la calculadora
- Escribe un bono por cada plazo, empezando en 1 año y sin saltos: 1, 2, 3 años y así hasta donde quieras.
- Para cada bono, pon el cupón anual en porcentaje del nominal y el precio por cada 100 de nominal.
- Mira el tipo spot del último plazo, los factores de descuento y la tabla con todos los plazos.
- Si falta un plazo o hay uno repetido, la calculadora te lo dice: necesita un bono de cada año seguido.
Fórmula del bootstrap
DF(n) = (Precio(n) − Cupón(n) × [DF(1) + … + DF(n−1)]) / (100 + Cupón(n)) Spot(n) = DF(n)^(−1/n) − 1 Forward(n) = DF(n−1) / DF(n) − 1
- DF(n) es el factor de descuento: lo que vale hoy 1 que se cobra dentro de n años.
- Precio(n) y Cupón(n) son los del bono de n años, por cada 100 de nominal.
- Spot(n) es el tipo cero cupón anual a n años.
- Forward(n) es el tipo a 1 año entre el año n−1 y el año n que dejan implícito los precios.
Se supone un cupón al año y que el último pago incluye el nominal de 100.
Ejemplo con tres bonos
Se usan los datos del ejemplo del MIT: un bono a 1 año sin cupón a 96,154, otro a 2 años con cupón del 8 % a 100,000 y otro a 3 años con cupón del 6 % a 85,589.
| Años | Cupón | Precio | Factor de descuento | Spot | Forward |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 % | 96,154 | 0,9615 | 4,00 % | 4,00 % |
| 2 | 8 % | 100,000 | 0,8547 | 8,17 % | 12,50 % |
| 3 | 6 % | 85,589 | 0,7046 | 12,38 % | 21,30 % |
El primer año es directo: 100 ÷ 96,154 − 1 = 4 %. Para el segundo, se descuenta el cupón de 8 con el factor del año 1 y queda (100 − 8 × 0,9615) ÷ 108 = 0,8547, que da un spot de 8,17 %. Para el tercero se descuentan los dos primeros cupones de 6 y queda 0,7046, que da 12,38 %.
Qué te dice cada cifra
- Spot creciente. Un spot que sube con el plazo, como en el ejemplo, indica que el mercado paga más por prestar más tiempo.
- Factor de descuento. Multiplícalo por cualquier pago futuro para saber cuánto vale hoy. Un pago de 1.000 dentro de 3 años vale unos 704,64 hoy en este ejemplo.
- Forward. El 21,30 % del tercer año es el tipo que, según estos precios, se pagaría por prestar de aquí a 2 años durante 1 año más. No es una predicción, es lo que implican los precios.
Errores frecuentes
- Saltarte un plazo. Sin el bono de 2 años no se puede sacar el de 3.
- Mezclar precio limpio y sucio. Usa el mismo tipo de precio en todos los bonos.
- Poner el cupón como importe en lugar de porcentaje del nominal.
- Esperar precios exactos de mercado: con precios redondeados, los forwards se mueven mucho.
Límites de esta calculadora
- Cupones anuales y plazos de años enteros. No hay cupones semestrales ni fechas exactas.
- No incluye comisiones, impuestos ni riesgo de impago del emisor.
- Los bonos reales rara vez vencen en años exactos; en la práctica se interpola entre plazos.
- Es una estimación para entender la curva, no una recomendación ni un dato de mercado.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre el tipo spot y el rendimiento al vencimiento?
El rendimiento al vencimiento es un solo tipo medio para todos los pagos de un bono. El spot es el tipo de un único pago a ese plazo. En el ejemplo, el bono de 3 años con cupón del 6 % tiene un rendimiento de 12 %, pero su spot a 3 años es de 12,38 %.
¿Por qué necesito un bono de cada año?
Porque cada plazo se despeja con los factores de descuento de los anteriores. Si falta el de 2 años, no se conoce el factor que hay que usar para descontar el cupón del bono de 3 años.
¿Qué significa un forward negativo?
Que los precios implican un tipo menor que cero entre dos plazos. Casi siempre es señal de precios mal copiados o de bonos de poca liquidez. Conviene revisar los datos.
¿Puedo usar bonos de distintos emisores?
Mejor que no. Si mezclas emisores con distinto riesgo, la curva mezcla riesgos. Usa bonos del mismo emisor y de calidad parecida.
¿Cómo uso el factor de descuento?
Multiplica un pago futuro por el factor de su plazo y obtienes su valor de hoy. Sumando todos los pagos de un bono descontados así, tienes su precio.
¿Cuánto cambia el resultado si el precio cambia un poco?
Mucho en los plazos largos. Un error pequeño en el precio de un bono pasa a todos los plazos siguientes, porque cada uno usa los factores de los anteriores.