Las fórmulas y las reglas para no equivocarte
El VAN (valor actual neto; en algunos países, VPN) es lo que gana un proyecto en dinero de hoy. La TIR (tasa interna de retorno) es la rentabilidad anual que da. El payback es el tiempo que tardas en recuperar lo invertido. Las fórmulas:
VAN = −Inversión + F1 ÷ (1 + k) + F2 ÷ (1 + k)^2 + … + Fn ÷ (1 + k)^n TIR = la tasa k con la que el VAN es 0 Payback = años enteros hasta casi recuperar + lo que falta ÷ flujo del año siguiente Inversión = lo que pones hoy F1, F2… = el dinero que deja cada año (entra menos sale) k = tasa de descuento, en tanto por uno (un 7 % es 0,07)
Tres reglas evitan casi todos los errores. La primera: la inversión de hoy no se descuenta, y cada flujo se divide entre (1 + k) elevado a su año. La segunda: si el VAN es mayor que cero, el proyecto crea valor, y eso equivale a que la TIR supere la tasa k. La tercera: la TIR se busca probando tasas hasta que el VAN da cero.
Ejercicios con el VAN y la TIR
Ejercicio 1. VAN con flujos iguales. Inviertes 30.000 y el proyecto deja 9.000 al final de cada año durante 5 años. Con una tasa del 7 %, ¿cuál es el VAN? Cuando los flujos son iguales hay un atajo: VAN = −30.000 + 9.000 × (1 − 1,07 ^ −5) ÷ 0,07 = −30.000 + 36.901,78 = 6.901,78. Como es positivo, crea valor. Su TIR es del 15,24 %.
Ejercicio 2. VAN con flujos desiguales. Inviertes 15.000 y el proyecto deja 3.000, 5.000, 6.000 y 7.000 en los 4 años siguientes. Con una tasa del 10 %, ¿cuál es el VAN? Cada flujo se descuenta por separado:
| Año | Flujo | En dinero de hoy (al 10 %) |
|---|---|---|
| 0 | −15.000,00 | −15.000,00 |
| 1 | 3.000,00 | 2.727,27 |
| 2 | 5.000,00 | 4.132,23 |
| 3 | 6.000,00 | 4.507,89 |
| 4 | 7.000,00 | 4.781,09 |
| VAN | 1.148,49 |
La suma de la última columna da un VAN de 1.148,49 con los decimales completos (con las cifras redondeadas de la tabla sale 1.148,48): positivo, crea valor. Su TIR es del 13,06 %.
Ejercicio 3. TIR a mano. Inviertes 10.000 y recibes 3.000 al año durante 4 años. ¿Cuál es la TIR? Se prueban dos tasas. Al 7 % el VAN es 161,63; al 8 %, −63,62. Como cambia de signo, la TIR está entre las dos. Interpolando: 7 + 1 × 161,63 ÷ (161,63 + 63,62) = 7,72 %. El valor exacto es 7,71 %.
Ejercicio 4. Comparar dos proyectos. Tienes que elegir uno. Con una tasa del 10 %:
- A: inversión de 10.000 y flujos de 5.000, 6.000 y 7.000.
- B: inversión de 40.000 y flujos de 18.000, 20.000 y 22.000.
| Proyecto A | Proyecto B | |
|---|---|---|
| VAN al 10 % | 4.763,34 | 9.421,49 |
| TIR | 33,87 % | 22,48 % |
| Payback | 1 año y 10 meses | 2 años y 1 mes |
La TIR y el payback prefieren el A; el VAN, el B. Gana el de mayor VAN: B te deja 9.421,49 en dinero de hoy y A, 4.763,34. A es más rentable en porcentaje, pero con menos dinero invertido. Solo compensaría A si los 30.000 que no pones en él pudieran ganar en otro sitio más de lo que B deja de más.
Ejercicios con una TIR que no existe o que sale doble
Ejercicio 5. Dos TIR. Un proyecto pide 10.000 hoy, deja 25.000 el año 1 y obliga a pagar 15.600 el año 2 (por ejemplo, un cierre o una reforma). ¿Cuál es su TIR? El VAN es cero con dos tasas distintas, el 20 % y el 30 %:
- Al 20 %: −10.000 + 25.000 ÷ 1,2 − 15.600 ÷ 1,2² = 0.
- Al 30 %: −10.000 + 25.000 ÷ 1,3 − 15.600 ÷ 1,3² = 0.
Y entre las dos es positivo: al 25 % el VAN es de 16, y al 10 % es de −165,29. Cuando los flujos cambian de signo más de una vez, la TIR no sirve para decidir: mira el VAN a tu tasa.
Ejercicio 6. Ninguna TIR. Otro proyecto pide 10.000, deja 22.000 el año 1 y pide pagar 13.000 el año 2. ¿Cuál es su TIR? No existe: no hay ninguna tasa con la que el VAN dé cero. Con una tasa del 10 %, el VAN es −743,80 y sigue siendo negativo con cualquier otra. El proyecto no compensa: ni siquiera sin descontar recuperas lo que pones, porque 22.000 − 13.000 = 9.000 es menos que los 10.000 de inversión.
Ejercicios con el payback
Ejercicio 7. Payback simple. Inviertes 24.000 y el proyecto deja 8.000, 9.000, 10.000 y 10.000 al año. ¿Cuándo recuperas lo invertido? Se suma año a año: 8.000, 17.000, 27.000. Tras 2 años faltan 24.000 − 17.000 = 7.000, y el tercer año deja 10.000. Payback = 2 + 7.000 ÷ 10.000 = 2,7 años, es decir, 2 años y 8 meses. Se reparte el dinero del tercer año por igual entre sus 12 meses.
Ejercicio 8. Payback descontado. El mismo proyecto, con una tasa del 8 %: ¿cuándo recuperas lo invertido contando el valor del tiempo? Se descuenta cada flujo y se acumula:
| Año | Flujo | En dinero de hoy (al 8 %) | Acumulado |
|---|---|---|---|
| 1 | 8.000 | 7.407,41 | 7.407,41 |
| 2 | 9.000 | 7.716,05 | 15.123,46 |
| 3 | 10.000 | 7.938,32 | 23.061,78 |
| 4 | 10.000 | 7.350,30 | 30.412,08 |
Tras 3 años faltan 24.000 − 23.061,78 = 938,22. Payback descontado = 3 + 938,22 ÷ 7.350,30 = 3,13 años, unos 3 años y 2 meses. Es más largo que el simple porque el dinero de los años lejanos vale menos hoy.
Errores que más se repiten en los ejercicios
- Descontar la inversión de hoy. El año 0 no se divide: va tal cual, en negativo.
- Poner el porcentaje entero. En la fórmula, un 8 % es 0,08.
- Elegir por la TIR entre proyectos de distinto tamaño. Si solo puedes hacer uno, elige el de mayor VAN.
- Redondear en medio. Calcula todo y redondea solo el resultado final.
Preguntas frecuentes
¿Qué hago si el enunciado habla de un valor de venta al final?
Súmalo al flujo del último año. Con 10.000 de inversión, 3.000 al año durante 4 años y 2.000 que recuperas vendiendo el activo al final, el flujo del año 4 es 5.000. Con una tasa del 7 %, el VAN pasa de 161,63 a 1.687,42, y la TIR, del 7,71 % al 13,66 %.
¿Cuándo dan decisiones distintas el VAN y la TIR?
Al comparar dos proyectos de distinto tamaño, como el ejercicio 4. En ese caso la TIR favorece al pequeño y el VAN, al grande. Si el dinero de más se puede invertir en otro sitio, el pequeño puede ser buena opción; si no, elige el mayor VAN.
¿Sirve el payback para decidir?
Solo como complemento. Dice cuánto tarda en volver tu dinero, pero ignora lo que pasa después de recuperarlo, y el simple tampoco cuenta el valor del tiempo. En el ejercicio 4, A se recupera antes y aun así deja menos valor.
¿Cómo meto los flujos de un ejercicio en la calculadora?
Escribe la inversión, añade una fila por cada año con su flujo, en negativo si ese año hay que pagar, y pon la tasa de descuento. Si hay valor de venta al final, está en las Opciones avanzadas. Si te sale la misma cifra que a mano, el ejercicio está bien resuelto.