Las fórmulas y las reglas para no equivocarte
El valor futuro es lo que valdrá dinero de hoy dentro de un tiempo; el valor actual (o presente) es lo que vale hoy dinero que llegará más adelante. Los dos usan la tasa de cada periodo, i (un 6 % es 0,06), y el número de periodos, n:
Pago único Valor futuro = Valor actual × (1 + i) ^ n Valor actual = Valor futuro ÷ (1 + i) ^ n Renta de pagos iguales al final de cada periodo Valor actual = Pago × (1 − (1 + i) ^ −n) ÷ i Valor futuro = Pago × ((1 + i) ^ n − 1) ÷ i Si los pagos son al principio del periodo: multiplica por (1 + i) Renta para siempre: Valor actual = Pago ÷ i
Dos reglas evitan casi todos los errores. La primera: i y n deben estar en la misma unidad; con pagos mensuales, i es la tasa de un mes y n son los meses. La segunda: con una tasa nominal anual, la tasa de cada mes es la anual dividida entre 12.
Ejercicios con un pago único
Ejercicio 1. Valor futuro. Tienes 5.000 hoy y los dejas 6 años al 4 % anual. ¿Cuánto tendrás? VF = 5.000 × 1,04 ^ 6 = 6.326,60. Los intereses son 1.326,60.
Ejercicio 2. Valor actual. Te ofrecen cobrar 9.000 dentro de 2 años. Con una tasa del 6 % anual, ¿cuánto valen hoy? VA = 9.000 ÷ 1,06 ^ 2 = 8.009,97. Si la alternativa es cobrar 8.000 hoy, esperar vale algo más: 9,97 de diferencia.
Ejercicio 3. Comparar. ¿Qué te conviene más: cobrar 12.000 hoy o 15.000 dentro de 3 años, si tu tasa es del 8 % anual? VA de 15.000 = 15.000 ÷ 1,08 ^ 3 = 11.907,48. Como 12.000 es más que 11.907,48, te conviene cobrar hoy.
Ejercicios con una renta de pagos iguales
Ejercicio 4. Valor futuro de un ahorro mensual. Ahorras 200 al final de cada mes durante 8 años, con una tasa del 4 % anual nominal. ¿Cuánto tendrás? i = 0,04 ÷ 12 = 0,003333 y n = 8 × 12 = 96. VF = 200 × (1,003333 ^ 96 − 1) ÷ 0,003333 = 22.583,71. Has puesto 200 × 96 = 19.200 y los otros 3.383,71 son intereses.
Ejercicio 5. Valor actual de una renta. Te pagarán 1.000 al final de cada mes durante 5 años. Con una tasa del 6 % anual nominal, ¿cuánto vale eso hoy? i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 y n = 60. VA = 1.000 × (1 − 1,005 ^ −60) ÷ 0,005 = 51.725,56. Los pagos suman 60.000, pero valen hoy 8.274,44 menos por llegar poco a poco.
Ejercicio 6. Renta anticipada. Pagas un alquiler de 900 al principio de cada mes durante 2 años. Con una tasa del 3 % anual nominal, ¿cuál es el valor actual de todos esos pagos? i = 0,03 ÷ 12 = 0,0025 y n = 24. Primero, como si fueran al final del mes: 900 × (1 − 1,0025 ^ −24) ÷ 0,0025 = 20.939,38. Como se pagan al principio, se multiplica por (1 + i): 20.939,38 × 1,0025 = 20.991,73. La renta anticipada vale 52,35 más que la vencida, porque cada pago llega un mes antes.
Ejercicios con una renta para siempre y con la tasa efectiva
Ejercicio 7. Perpetuidad. Un local te da un alquiler de 1.200 al año, y piensas que será para siempre. Con una tasa del 4 %, ¿cuánto vale hoy? VA = Pago ÷ i = 1.200 ÷ 0,04 = 30.000. Con una tasa del 5 % sería 24.000: cuanto más alta la tasa, menos vale.
Ejercicio 8. Tasa efectiva. Cobrarás 500 al final de cada mes durante 3 años y la tasa que te dan es del 6 % efectiva anual. ¿Cuánto vale hoy? Con una tasa efectiva, la tasa mensual no es 6 ÷ 12. Es i = 1,06 ^ (1 ÷ 12) − 1 = 0,004868 (un 0,4868 % al mes). n = 36. VA = 500 × (1 − 1,004868 ^ −36) ÷ 0,004868 = 16.474,48. Con una tasa nominal del 6 % (i = 0,005), el valor actual sería 16.435,51: 38,97 menos. Si no sabes si una tasa es nominal o efectiva, pásala de una a otra con el conversor de tasas.
Tabla de factores para resolver a mano
Los problemas de libros suelen dar una tabla financiera con estos factores. Para un pago único, multiplica el dinero por el factor:
| Años | Factor de valor futuro al 3 % | al 5 % | al 7 % | Factor de valor actual al 3 % | al 5 % | al 7 % |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,0300 | 1,0500 | 1,0700 | 0,9709 | 0,9524 | 0,9346 |
| 5 | 1,1593 | 1,2763 | 1,4026 | 0,8626 | 0,7835 | 0,7130 |
| 10 | 1,3439 | 1,6289 | 1,9672 | 0,7441 | 0,6139 | 0,5083 |
| 20 | 1,8061 | 2,6533 | 3,8697 | 0,5537 | 0,3769 | 0,2584 |
El factor de valor futuro es (1 + i) ^ n y el de valor actual es su inverso, 1 ÷ (1 + i) ^ n. Por ejemplo, 10.000 dentro de 10 años al 5 % valen 10.000 × 0,6139 = 6.139 hoy, y 10.000 de hoy valdrán 10.000 × 1,6289 = 16.289 dentro de 10 años.
Errores que más se repiten en los ejercicios
- Mezclar años y meses. Con pagos mensuales, 5 años son 60 periodos.
- Olvidar dividir la tasa nominal entre 12 al hacer pagos mensuales, o dividir una tasa efectiva, que no se divide.
- Poner el porcentaje entero. En la fórmula, un 6 % es 0,06.
- Confundir pagos al principio y al final. Los del principio valen más, y se multiplican por (1 + i).
- Redondear en medio. Calcula todo y redondea solo el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si en un ejercicio debo calcular el valor actual o el futuro?
Mira dónde está el dinero que te dan y dónde pide el enunciado el resultado. Si el dinero llega más adelante y te piden su valor de hoy, es valor actual: se divide. Si tienes dinero hoy y te piden cuánto será dentro de un tiempo, es valor futuro: se multiplica.
¿Por qué el valor actual de una renta es menor que la suma de los pagos?
Porque cada pago llega en el futuro y ese dinero, cobrado antes, se podría haber invertido. En el ejercicio 5, los pagos suman 60.000, pero valen hoy 51.725,56: la diferencia es lo que habrías ganado esperando.
¿Qué tasa uso si el enunciado no la da?
Tiene que darla el enunciado, o debes decidirla tú: lo que podrías ganar con ese dinero en otro sitio con un riesgo parecido. Cambiarla cambia el resultado, como en el ejercicio 7, donde pasar del 4 % al 5 % baja la perpetuidad de 30.000 a 24.000.
¿Cómo hago el ejercicio si los pagos son cada trimestre?
Divide la tasa nominal anual entre 4 y cuenta los trimestres. Con 600 al final de cada trimestre durante 3 años y un 8 % anual nominal, i = 0,02 y n = 12: VA = 600 × (1 − 1,02 ^ −12) ÷ 0,02 = 6.345,20.
¿Qué elijo en la calculadora para comprobar un ejercicio?
Elige «Valor actual» o «Valor futuro» según lo que pida el enunciado, y «Pagos iguales» o «Una sola cantidad». Escribe el pago, la tasa y los años, y elige la frecuencia y si el pago es al principio o al final. Si te sale la misma cifra que a mano, el ejercicio está bien.