La fórmula y las dos reglas para no equivocarte
El capital final es el capital inicial multiplicado por (1 + i) elevado al número de periodos. Todos los ejercicios de esta guía salen de esta fórmula o de despejarla:
Cf = Ci × (1 + i) ^ n Cf = capital final Ci = capital inicial i = interés de cada periodo, en tanto por uno (un 4 % es 0,04) n = número de periodos
Dos reglas evitan casi todos los errores. La primera: i y n tienen que estar en la misma unidad; si los intereses se suman cada mes, i es el interés de un mes y n son meses. La segunda: cuando te dan un interés anual y los intereses se suman varias veces al año, el interés de cada periodo es el anual dividido entre las veces que se suma.
| Los intereses se suman | i de cada periodo (con un 6 % anual) | n en 5 años |
|---|---|---|
| Cada año | 0,06 | 5 |
| Cada trimestre | 0,06 ÷ 4 = 0,015 | 20 |
| Cada mes | 0,06 ÷ 12 = 0,005 | 60 |
Ejercicios para calcular el capital final
Ejercicio 1. ¿En cuánto se convierten 5.000 al 4 % anual en 5 años, con los intereses sumados cada año? Cf = 5.000 × 1,04 ^ 5 = 6.083,26. Los intereses son 1.083,26.
Ejercicio 2. ¿Y 8.000 al 6 % anual durante 10 años? Cf = 8.000 × 1,06 ^ 10 = 14.326,78. Tu dinero se ha multiplicado por 1,79.
Ejercicio 3. Tienes 3.000 al 3 % anual y los intereses se suman cada mes durante 4 años. i = 0,03 ÷ 12 = 0,0025 y n = 4 × 12 = 48. Cf = 3.000 × 1,0025 ^ 48 = 3.381,98. Con los intereses sumados una vez al año serían 3.376,53: sumarlos antes da algo más.
Ejercicio 4. Una inversión rinde un 1,5 % cada mes. ¿Qué pasa con 2.000 en 18 meses? Aquí el interés ya es mensual y n son meses: Cf = 2.000 × 1,015 ^ 18 = 2.614,68. Un 1,5 % al mes equivale a un 19,56 % al año (1,015 ^ 12 = 1,1956).
Ejercicio 5. 12.000 al 5 % anual con los intereses sumados cada trimestre durante 3 años. i = 0,05 ÷ 4 = 0,0125 y n = 12. Cf = 12.000 × 1,0125 ^ 12 = 13.929,05.
Ejercicios en los que falta otro dato
Ejercicio 6. Los intereses. ¿Cuántos intereses dan 15.000 al 2,5 % anual en 7 años? Cf = 15.000 × 1,025 ^ 7 = 17.830,29. Intereses = 17.830,29 − 15.000 = 2.830,29.
Ejercicio 7. El capital inicial. ¿Cuánto hay que invertir hoy para tener 20.000 dentro de 8 años al 4 % anual? Se despeja Ci = Cf ÷ (1 + i) ^ n = 20.000 ÷ 1,04 ^ 8 = 14.613,80.
Ejercicio 8. La tasa. ¿Qué interés anual convierte 10.000 en 14.000 en 6 años? i = (Cf ÷ Ci) ^ (1 ÷ n) − 1 = (14.000 ÷ 10.000) ^ (1 ÷ 6) − 1 = 5,77 % al año.
Ejercicio 9. El tiempo. ¿Cuánto tardan 6.000 al 5 % anual en llegar a 9.000? n = ln(Cf ÷ Ci) ÷ ln(1 + i) = ln(1,5) ÷ ln(1,05) = 8,31 años, unos 8 años y 4 meses. Con una calculadora que no tenga logaritmos, prueba años hasta que 1,05 ^ n pase de 1,5.
Ejercicio con aportaciones mensuales
Ejercicio 10. Aportas 150 al final de cada mes a un 6 % anual con los intereses sumados cada mes. ¿Cuánto tienes a los 15 años si empiezas desde cero? Cada aportación genera intereses desde el mes en que la haces. El valor de todas es:
VF = a × ((1 + i) ^ m − 1) ÷ i a = aportación mensual (150) i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 m = meses (15 × 12 = 180)
VF = 150 × (1,005 ^ 180 − 1) ÷ 0,005 = 43.622,81. Has puesto 150 × 180 = 27.000 y los otros 16.622,81 son intereses. Para ver este caso, elige en la calculadora de arriba «Cuánto tendré», pon 0 de dinero inicial, 150 de aportación, 6 % y 15 años, y deja la capitalización mensual en «Opciones avanzadas».
Y si el interés fuera simple
Con interés simple el interés se calcula siempre sobre el capital inicial: Cf = Ci × (1 + i × n). Con 6.000 al 5 % durante 4 años, el simple da 6.000 × (1 + 0,05 × 4) = 7.200,00 y el compuesto, 6.000 × 1,05 ^ 4 = 7.293,04: 93,04 más. Si quieres practicar el otro método, usa la calculadora de interés simple o la guía interés simple o compuesto.
Errores que más se repiten en los ejercicios
- Poner el porcentaje entero. En la fórmula, un 4 % se escribe 0,04, no 4.
- Mezclar años y meses. Con interés mensual, 3 años son 36 periodos.
- Olvidar dividir la tasa anual cuando los intereses se suman cada mes o trimestre.
- Redondear en medio. Calcula todo y redondea solo el resultado final; si redondeas 1,04 ^ 5 a 1,22 te sale 6.100 en vez de 6.083,26.
- Confundir capital final con intereses. Los intereses son el capital final menos el inicial.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si el resultado de mi ejercicio es razonable?
Compáralo con dos referencias. El interés compuesto siempre da al menos lo que daría el simple: con 8.000 al 6 % durante 10 años, el simple da 12.800 y el compuesto, 14.326,78. Y con la regla del 72, el dinero se duplica en 72 ÷ interés años (12 años al 6 %): como son 10, el resultado tiene que quedar algo por debajo del doble, 16.000.
¿Cómo se resuelve un ejercicio si el interés cambia cada año?
Multiplica el capital por (1 + i) de cada año, uno detrás de otro. Con 5.000 y un interés del 3 %, el 4 % y el 5 % en tres años seguidos: 5.000 × 1,03 × 1,04 × 1,05 = 5.623,80.
¿Y si el plazo no son años enteros?
Usa los años con decimales o, mejor, los periodos que correspondan. Con 5.000 al 4 % anual durante 5 años y 6 meses, n = 5,5 y el resultado es 5.000 × 1,04 ^ 5,5 = 6.203,74. Algunos enunciados piden aplicar interés simple a la fracción de año: en ese caso salen 6.204,93.
¿Cómo compruebo un ejercicio con la calculadora?
Elige «Cuánto tendré», escribe el capital, pon 0 en la aportación, el interés anual y los años, y en «Opciones avanzadas» elige cómo se suman los intereses: anual, trimestral o mensual. Si te sale la misma cifra que a mano, el ejercicio está bien resuelto.